Contoh soal deret geometri menjadi pintu masuk penting bagi guru dan siswa untuk memahami pola angka yang sering muncul dalam berbagai fenomena. Memahami deret geometri bukan sekadar hafalan rumus, tetapi juga tentang mengasah kemampuan logika dan pola pikir matematis yang bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari.
Materi deret geometri melibatkan konsep-konsep dasar seperti suku pertama, rasio, dan jumlah suku, yang jika dikuasai dengan baik, akan memudahkan proses penyelesaian soal-soal matematika secara lebih efektif dan efisien. Dengan penguasaan ini, guru dapat membimbing siswa untuk lebih percaya diri dalam menghadapi soal yang menantang sekalipun.
Dalam artikel ini, kami akan membahas secara rinci berbagai contoh soal deret geometri beserta langkah penyelesaian dan penjelasan rumus-rumus pentingnya. Pendekatan yang sistematis ini dirancang agar materi mudah dipahami dan aplikatif, sehingga guru dapat menyampaikan dengan cara yang lebih menarik dan komunikatif kepada siswa.
Apa Itu Deret Geometri?
Bayangkan kamu sedang menabung uang di celengan, dan setiap hari kamu menggandakan jumlah uang yang kamu masukkan. Misalnya, hari pertama kamu menabung Rp1.000, hari kedua Rp2.000, hari ketiga Rp4.000, dan seterusnya.
Jumlah total uang yang kamu kumpulkan selama beberapa hari membentuk deret geometri. Artinya, jumlah uang yang terkumpul dari hari ke hari bukan bertambah secara tetap, tetapi berkembang berdasarkan kelipatan tertentu.
Contoh lain bisa kita temui dalam teknologi. Ketika sebuah video menjadi viral, jumlah penontonnya sering kali meningkat secara eksponensial, hari pertama ditonton oleh 1.000 orang, keesokan harinya 2.000, lalu 4.000, dan seterusnya. Fenomena pertumbuhan cepat ini pun merupakan bentuk nyata dari deret geometri dalam dunia nyata.
Jadi, deret geometri tidak hanya sekadar teori matematika, melainkan cerminan dari berbagai peristiwa yang berkembang secara cepat dalam kehidupan kita sehari-hari.
Pengertian Umum Deret Geometri
Deret geometri adalah konsep matematika yang menggambarkan penjumlahan dari suku-suku dalam barisan geometri. Barisan geometri sendiri merupakan deretan angka yang tiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap, yang disebut rasio atau common ratio (r).
Secara formal, jika kita memiliki sebuah barisan geometri \( U_1, U_2, U_3, ..., U_n \), maka hubungan antar suku berturut-turut dinyatakan dengan:
\[ U_n = U_{n-1} \times r \]di mana \( U_n \) adalah suku ke-n, dan \( r \) adalah rasio tetap yang mengalikan suku sebelumnya. Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku ini, sehingga deret geometri sampai suku ke-n dapat dituliskan sebagai:
\[ S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n \]Karakteristik utama deret geometri adalah perubahan nilai suku yang bersifat eksponensial, yang berbeda dengan deret aritmatika yang berubah secara linear. Dalam deret geometri, setiap suku dapat meningkat atau menurun secara cepat tergantung nilai \( r \), baik itu lebih besar dari 1, kurang dari 1, atau bahkan negatif.
Deret geometri memiliki peranan penting dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan aplikasi praktis, seperti keuangan (bunga majemuk), fisika (penurunan radiasi), teknologi (peningkatan kapasitas perangkat digital), dan biologi (pertumbuhan populasi).
Oleh karena itu, pemahaman konsep deret geometri sangat esensial dan harus dikuasai secara mendalam, terutama bagi guru yang bertugas mengajarkan matematika secara efektif.
Ciri-Ciri Deret Geometri
Untuk mengenali suatu deret apakah termasuk deret geometri atau bukan, kita dapat mengamati beberapa ciri khas berikut ini:
- Pola Perkalian Tetap: Setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap (rasio).
- Rasio Tidak Berubah: Nilai rasio antara dua suku berturut-turut selalu konstan, misalnya \( r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} \), dan seterusnya.
- Bisa Bernilai Positif atau Negatif: Rasio dalam deret geometri bisa bernilai positif, negatif, lebih besar dari satu, atau pecahan (kurang dari satu).
- Perubahan Cepat: Deret geometri menunjukkan pertumbuhan atau penurunan yang sangat cepat, tergantung pada nilai rasio.
- Digunakan Dalam Kehidupan Nyata: Ciri ini menjadikan deret geometri sangat relevan dalam berbagai bidang seperti ekonomi (bunga majemuk), biologi (perkembangbiakan bakteri), teknologi (peningkatan kapasitas memori), dan sebagainya.
Contoh sederhananya, deret: 3, 6, 12, 24, ... memiliki rasio 2, karena setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Maka ini disebut deret geometri. Ciri-ciri seperti inilah yang membantu kita dalam mengidentifikasi jenis deret dengan cepat.
Memahami ciri-ciri deret geometri secara mendalam akan memudahkan guru saat menjelaskan kepada siswa, dan siswa pun lebih mudah menangkap konsepnya karena dapat dikaitkan dengan pola yang logis dan mudah diilustrasikan.
Perbedaan Deret Aritmatika dan Deret Geometri
Dalam dunia matematika, dua jenis deret yang paling umum dipelajari adalah deret aritmatika dan deret geometri. Keduanya memiliki pola tertentu, namun dengan prinsip yang berbeda secara fundamental. Untuk memahami perbedaan keduanya secara akademik, mari kita telaah dari beberapa aspek utama:
1. Pola atau Aturan Pembentukan
Deret Aritmatika: Dibentuk dengan menambahkan bilangan tetap (beda, \(d\)) secara berurutan. Misalnya, 2, 5, 8, 11, ... memiliki beda 3.
Deret Geometri: Dibentuk dengan mengalikan bilangan tetap (rasio, \(r\)) secara berurutan. Contohnya, 3, 6, 12, 24, ... memiliki rasio 2.
2. Rumus Umum Suku ke-n
Deret Aritmatika: \( U_n = a + (n-1) \cdot d \)
Deret Geometri: \( U_n = a \cdot r^{n-1} \)
Dengan:
- \(a\): suku pertama
- \(n\): nomor suku yang dicari
- \(d\): beda pada deret aritmatika
- \(r\): rasio pada deret geometri
3. Perubahan Nilai Suku
Deret aritmatika menunjukkan kenaikan atau penurunan linear, sedangkan deret geometri menunjukkan kenaikan atau penurunan eksponensial. Artinya, dalam deret geometri, nilai dapat meningkat atau menurun dengan sangat cepat tergantung pada nilai rasio \(r\).
4. Penerapan dalam Kehidupan Nyata
Deret Aritmatika: Umumnya digunakan untuk menghitung pertambahan tetap, seperti gaji bulanan yang naik tetap, jumlah kursi dalam barisan, atau kenaikan harga yang tetap setiap periode.
Deret Geometri: Diterapkan dalam situasi pertumbuhan atau penurunan cepat, seperti bunga majemuk dalam perbankan, pertumbuhan penduduk, penyusutan barang, hingga teknologi seperti penyimpanan data digital.
5. Grafik Perbandingan
Jika digambarkan dalam grafik, deret aritmatika menghasilkan garis lurus (linear), sedangkan deret geometri membentuk kurva yang melengkung tajam (eksponensial), tergantung besar kecilnya rasio.
Dengan memahami perbedaan mendalam ini, guru dapat membimbing siswa untuk tidak sekadar menghafal rumus, tetapi memahami makna dan penerapan dari masing-masing jenis deret. Pemahaman konseptual akan memudahkan siswa dalam mengaitkan matematika dengan konteks kehidupan nyata.
Rumus-Rumus Penting dalam Pelajaran Deret Geometri
Memahami rumus-rumus utama dalam deret geometri sangat penting agar kita dapat menguasai materi ini dengan baik. Rumus-rumus ini tidak hanya membantu dalam menghitung suku tertentu, tetapi juga dalam menentukan jumlah suku dan memahami hubungan antar suku dalam deret.
Dengan penguasaan rumus yang tepat, guru dapat mengajarkan materi ini secara lebih sistematis dan siswa dapat lebih mudah memahami konsep deret geometri dalam berbagai konteks kehidupan nyata.
1. Rumus Suku ke-n Deret Geometri
Rumus suku ke-n digunakan untuk mencari nilai suku ke-n dalam deret geometri, yaitu:
\[ U_n = a \times r^{n-1} \]
- Un: Suku ke-n
- a: Suku pertama
- r: Rasio (perbandingan tetap antar suku)
- n: Posisi suku yang dicari
Contoh soal: Diketahui suku pertama \(a=5\) dan rasio \(r=2\). Tentukan suku ke-4.
Penyelesaian:
\[ U_4 = 5 \times 2^{4-1} = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40 \]
Jadi, suku ke-4 adalah 40.
2. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri
Untuk menjumlahkan n suku pertama deret geometri (dengan \(r \neq 1\)), rumusnya adalah:
\[ S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1} \]
- Sn: Jumlah n suku pertama
- a: Suku pertama
- r: Rasio
- n: Banyak suku yang dijumlah
Contoh soal: Diketahui \(a=3\), \(r=3\), dan \(n=4\). Hitung jumlah 4 suku pertama.
Penyelesaian:
\[ S_4 = 3 \times \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 3 \times \frac{81 - 1}{2} = 3 \times \frac{80}{2} = 3 \times 40 = 120 \]
Jadi, jumlah 4 suku pertama adalah 120.
3. Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
Untuk deret geometri dengan rasio \(|r| < 1\), jumlah deret tak hingga dapat dihitung dengan rumus:
\[ S_\infty = \frac{a}{1 - r} \]
- S\infty: Jumlah deret tak hingga
- a: Suku pertama
- r: Rasio (harus \(|r| < 1\))
Contoh soal: Jika \(a = 8\) dan \(r = \frac{1}{2}\), hitung jumlah deret tak hingga.
Penyelesaian:
\[ S_\infty = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16 \]
Jumlah deret tak hingga adalah 16.
4. Rumus Rasio Deret Geometri
Rasio adalah perbandingan antara dua suku berurutan dalam deret. Rumusnya:
\[ r = \frac{U_n}{U_{n-1}} \]
- r: Rasio
- U_n: Suku ke-n
- U_{n-1}: Suku sebelum suku ke-n
Contoh soal: Jika \(U_3 = 54\) dan \(U_2 = 18\), tentukan rasio deret.
Penyelesaian:
\[ r = \frac{54}{18} = 3 \]
Rasio deret adalah 3.
5. Rumus Hubungan Antar Suku dalam Deret Geometri
Rumus ini menghubungkan suku ke-m dengan suku ke-n dalam deret geometri:
\[ U_m = U_n \times r^{m-n} \]
- U_m: Suku ke-m
- U_n: Suku ke-n
- r: Rasio
- m, n: Posisi suku
Contoh soal: Diketahui \(U_2 = 6\), \(r=4\). Cari \(U_5\).
Penyelesaian:
\[ U_5 = 6 \times 4^{5-2} = 6 \times 4^3 = 6 \times 64 = 384 \]
Jadi, suku ke-5 adalah 384.
6. Rumus Suku Tengah Deret Geometri
Untuk deret geometri dengan jumlah suku ganjil \(n\), suku tengah berada pada posisi \(\frac{n+1}{2}\) dan dapat dihitung dengan rumus:
\[ U_{\frac{n+1}{2}} = \sqrt{U_1 \times U_n} \]
- U_{\frac{n+1}{2}}: Suku tengah
- U_1: Suku pertama
- U_n: Suku terakhir
- n: Jumlah suku ganjil
Contoh soal: Jika \(U_1 = 3\), \(U_7 = 192\), tentukan suku tengah.
Penyelesaian:
\[ U_4 = \sqrt{3 \times 192} = \sqrt{576} = 24 \]
Suku tengah adalah 24.
7. Rumus Transformasi Deret Geometri
Transformasi deret geometri dapat melibatkan perubahan rasio atau suku pertama, dan rumusnya menyesuaikan sebagai berikut:
\[ U'_n = a' \times r'^{n-1} \]
- U'_n: Suku ke-n hasil transformasi
- a': Suku pertama baru
- r': Rasio baru
- n: Posisi suku
Contoh soal: Dari deret awal \(a=2\), \(r=3\), transformasi menghasilkan \(a' = 4\), \(r' = 2\). Tentukan suku ke-3 dari deret baru.
Penyelesaian:
\[ U'_3 = 4 \times 2^{3-1} = 4 \times 2^2 = 4 \times 4 = 16 \]
8. Rumus Logaritma untuk Mencari Suku dalam Deret Geometri
Untuk mencari posisi suku ke-n jika diketahui suku dan rasio, gunakan logaritma:
\[ n = \frac{\log(\frac{U_n}{a})}{\log r} + 1 \]
- n: Posisi suku
- U_n: Nilai suku ke-n
- a: Suku pertama
- r: Rasio
Contoh soal: Diketahui: a=2, 𝑟 = 3 r=3, dan suku ke-n adalah 162. Tentukan posisi suku tersebut.
Penyelesaian:
\[ n = \frac{\log(\frac{162}{2})}{\log 3} + 1 = \frac{\log 81}{\log 3} + 1 = \frac{1.9085}{0.4771} + 1 = 4 + 1 = 5 \]
Jadi, suku 162 adalah suku ke-5.
50 Contoh Soal Deret Geometri Lengkah dengan Pembahasan
Soal Nomor 1: Sebuah deret geometri memiliki suku pertama 3 dan rasio 2. Jika jumlah suku ke-5 deret tersebut adalah 96, berapakah nilai dari suku ke-7?
Diketahui:
Suku pertama (\(a\)) = 3
Rasio (\(r\)) = 2
Jumlah suku ke-5 (\(S_5\)) = 96
Ditanya: Nilai suku ke-7 (\(U_7\))
Dijawab:
Rumus suku ke-\(n\) deret geometri adalah \(U_n = a \times r^{n-1}\). Rumus ini berasal dari definisi deret geometri di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tetap.
Langkah 1: Hitung suku ke-5
\(U_5 = 3 \times 2^{5-1}\)
= \(3 \times 16\)
= 48
Langkah 2: Hitung jumlah 5 suku pertama
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri adalah \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\). Rumus ini berasal dari menjumlahkan semua suku sampai suku ke-\(n\).
\(S_5 = 3 \times \frac{2^5 - 1}{2 - 1}\)
= \(3 \times \frac{32 - 1}{1}\)
= \(3 \times 31\)
= 93
Langkah 3: Hitung selisih jumlah suku ke-5 dengan nilai yang diketahui
Selisih = \(96 - 93 = 3\)
Langkah 4: Hitung suku ke-7
\(U_7 = U_5 \times r^2\)
= \(48 \times 4\)
= 192
Jadi, jawaban yang benar adalah A. 192
Soal Nomor 2: Ibu membeli sebidang tanah dengan harga Rp2.000.000,00. Setiap tahun nilai tanah tersebut naik 10%. Berapakah nilai tanah tersebut setelah 3 tahun?
Diketahui:
Harga awal tanah (\(a\)) = Rp2.000.000,00
Rasio kenaikan nilai (\(r\)) = \(1 + 10\% = 1,1\)
Lama investasi (\(n\)) = 3 tahun
Ditanya: Nilai tanah setelah 3 tahun (\(V_3\))
Dijawab:
Rumus nilai akhir dengan pertumbuhan geometri adalah \(V_n = a \times r^n\). Rumus ini berasal dari aplikasi deret geometri di mana nilai setiap tahun diperoleh dengan mengalikan nilai tahun sebelumnya dengan rasio pertumbuhan.
Langkah 1: Hitung nilai tanah setelah tahun pertama
\(V_1 = 2.000.000 \times 1,1\)
= 2.200.000
Langkah 2: Hitung nilai tanah setelah tahun kedua
\(V_2 = 2.200.000 \times 1,1\)
= 2.420.000
Langkah 3: Hitung nilai tanah setelah tahun ketiga
\(V_3 = 2.420.000 \times 1,1\)
= 2.662.000
Jadi, jawaban yang benar adalah A. Rp2.662.000,00
Soal Nomor 3: Sebuah bola dipantulkan dari ketinggian 1,5 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah jarak total yang ditempuh bola setelah 4 kali pentalan?
Diketahui:
Ketinggian awal (\(a\)) = 1,5 meter
Rasio pentalan (\(r\)) = \(\frac{2}{3}\)
Banyak pentalan (\(n\)) = 4
Ditanya: Jarak total yang ditempuh bola (\(J\))
Dijawab:
Rumus jarak total untuk pantulan bola adalah \(J = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \times 2 - a\). Rumus ini berasal dari menjumlahkan jarak turun dan naik bola untuk setiap pentalan.
Langkah 1: Hitung bagian deret geometri
\(\frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1 - (\frac{2}{3})^4}{1 - \frac{2}{3}}\)
= \(\frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}}\)
= \(\frac{\frac{65}{81}}{\frac{1}{3}}\)
= \(\frac{65}{27}\)
Langkah 2: Hitung jarak total
\(J = 1,5 \times \frac{65}{27} \times 2 - 1,5\)
= \(1,5 \times \frac{130}{27} - 1,5\)
= \(\frac{195}{27} - 1,5\)
= 7,222... - 1,5
= 5,722... meter
Jadi, jawaban adalah C. 5,7 meter
Soal Nomor 4: Sebuah tabungan dengan saldo awal Rp5.000.000,00. Setiap bulan, tabungan tersebut dikenai bunga 2%. Berapakah jumlah tabungan setelah 6 bulan?
Diketahui:
Saldo awal (\(a\)) = Rp5.000.000,00
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 2\% = 1,02\)
Lama waktu (\(n\)) = 6 bulan
Ditanya: Jumlah tabungan setelah 6 bulan (\(V_6\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung jumlah tabungan setelah bulan pertama
\(V_1 = 5.000.000 \times 1,02 = 5.100.000\)
Langkah 2: Hitung jumlah tabungan setelah bulan keenam
\(V_6 = 5.000.000 \times (1,02)^6\)
= \(5.000.000 \times 1,126162\) = 5.630.810
Jadi, jawaban yang benar adalah A. Rp5.630.810,00
Soal Nomor 5: Sebuah mesin memiliki nilai awal Rp100.000.000,00. Setiap tahun nilai mesin tersebut turun 20%. Berapakah nilai mesin tersebut setelah 5 tahun?
Diketahui:
Nilai awal mesin (\(a\)) = Rp100.000.000,00
Rasio penurunan (\(r\)) = \(1 - 20\% = 0,8\)
Lama waktu (\(n\)) = 5 tahun
Ditanya: Nilai mesin setelah 5 tahun (\(V_5\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai mesin setelah tahun pertama
\(V_1 = 100.000.000 \times 0,8 = 80.000.000\)
Langkah 2: Hitung nilai mesin setelah tahun kelima
\(V_5 = 100.000.000 \times (0,8)^5\)
= \(100.000.000 \times 0,32768\) = 32.768.000
Jadi, jawaban yang benar adalah A. Rp32.768.000,00
Soal Nomor 6: Sebuah bakteri membelah diri menjadi 2 setiap 2 jam. Jika awalnya ada 100 bakteri, berapakah jumlah bakteri setelah 24 jam?
Diketahui:
Jumlah bakteri awal (\(a\)) = 100
Rasio pembelahan (\(r\)) = 2
Lama waktu (\(n\)) = 24 jam / 2 = 12 periode
Ditanya: Jumlah bakteri setelah 24 jam (\(U_{12}\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(U_n = a \times r^{n}\)
Langkah 1: Hitung jumlah bakteri setelah 12 periode
\(U_{12} = 100 \times 2^{12}\)
= \(100 \times 4096\) = 409.600
Jadi, jawaban yang benar adalah C. 409.600
Soal Nomor 7: Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp250.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya turun 15%. Berapakah nilai jual mobil tersebut setelah 4 tahun?
Diketahui:
Harga awal mobil (\(a\)) = Rp250.000.000,00
Rasio penurunan (\(r\)) = \(1 - 15\% = 0,85\)
Lama waktu (\(n\)) = 4 tahun
Ditanya: Nilai jual mobil setelah 4 tahun (\(V_4\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai jual setelah tahun pertama
\(V_1 = 250.000.000 \times 0,85 = 212.500.000\)
Langkah 2: Hitung nilai jual setelah tahun keempat
\(V_4 = 250.000.000 \times (0,85)^4\)
= \(250.000.000 \times 0,52200625\) = 130.501.562,50
Jadi, jawaban yang benar adalah A. Rp130.501.562,50
Soal Nomor 8: Sebuah pabrik memproduksi 500 unit barang pada bulan pertama. Setiap bulan produksi meningkat 10%. Berapakah total produksi selama 6 bulan pertama?
Diketahui:
Produksi awal (\(a\)) = 500 unit
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 10\% = 1,1\)
Lama waktu (\(n\)) = 6 bulan
Ditanya: Total produksi selama 6 bulan (\(S_6\))
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total produksi selama 6 bulan
\(S_6 = 500 \times \frac{1,1^6 - 1}{1,1 - 1}\)
= \(500 \times \frac{1,771561 - 1}{0,1}\)
= \(500 \times \frac{0,771561}{0,1}\)
= \(500 \times 7,71561\) = 3.857,805
Jadi, jawaban adalah E. 3.858 unit
Soal Nomor 9: Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2 meter dan memantul kembali mencapai 3/4 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah jarak total yang ditempuh bola setelah 5 kali pentalan?
Diketahui:
Ketinggian awal (\(a\)) = 2 meter
Rasio pentalan (\(r\)) = \(\frac{3}{4} = 0,75\)
Banyak pentalan (\(n\)) = 5
Ditanya: Jarak total yang ditempuh bola (\(J\))
Dijawab:
Rumus jarak total untuk pantulan bola: \(J = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \times 2 - a\)
Langkah 1: Hitung bagian deret geometri
\(\frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1 - (0,75)^5}{1 - 0,75}\)
= \(\frac{1 - 0,2373046875}{0,25}\)
= \(\frac{0,7626953125}{0,25}\) = 3,05078125
Langkah 2: Hitung jarak total
\(J = 2 \times 3,05078125 \times 2 - 2\)
= 12,203125 - 2 = 10,203125 meter
Jadi, jawaban adalah C. 10,2 meter
Soal Nomor 10: Sebuah investasi dengan nilai awal Rp100.000.000,00. Setiap semester nilai investasi tersebut naik 5%. Berapakah nilai investasi tersebut setelah 3 tahun?
Diketahui:
Nilai awal investasi (\(a\)) = Rp100.000.000,00
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 5\% = 1,05\)
Lama investasi (\(n\)) = 3 tahun = 6 semester
Ditanya: Nilai investasi setelah 3 tahun (\(V_6\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai investasi setelah semester pertama
\(V_1 = 100.000.000 \times 1,05 = 105.000.000\)
Langkah 2: Hitung nilai investasi setelah semester keenam
\(V_6 = 100.000.000 \times (1,05)^6\)
= \(100.000.000 \times 1,340095\) = 134.009.500,00
Jadi, jawaban yang benar adalah A. Rp134.009.500,00
Soal Nomor 11: Sebuah gelombang suara memiliki amplitudo awal 1 unit. Setiap detik, amplitudo gelombang berkurang 30%. Berapakah amplitudo gelombang setelah 4 detik?
Diketahui:
Amplitudo awal (\(a\)) = 1 unit
Rasio penurunan (\(r\)) = \(1 - 30\% = 0,7\)
Lama waktu (\(n\)) = 4 detik
Ditanya: Amplitudo gelombang setelah 4 detik (\(V_4\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung amplitudo setelah detik pertama
\(V_1 = 1 \times 0,7 = 0,7\)
Langkah 2: Hitung amplitudo setelah detik keempat
\(V_4 = 1 \times (0,7)^4\)
= \(1 \times 0,2401\) = 0,2401
Jadi, jawaban yang benar adalah B. 0,2401 unit
Soal Nomor 12: Sebuah rekening bank dengan saldo awal Rp10.000.000,00. Setiap bulan, bank memberikan bunga 3%. Berapakah jumlah tabungan setelah 8 bulan?
Diketahui:
Saldo awal (\(a\)) = Rp10.000.000,00
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 3\% = 1,03\)
Lama waktu (\(n\)) = 8 bulan
Ditanya: Jumlah tabungan setelah 8 bulan (\(V_8\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung jumlah tabungan setelah bulan pertama
\(V_1 = 10.000.000 \times 1,03 = 10.300.000\)
Langkah 2: Hitung jumlah tabungan setelah bulan kedelapan
\(V_8 = 10.000.000 \times (1,03)^8\)
= \(10.000.000 \times 1,2667700534602649\) ≈ 12.667.700,53
Jadi, jawaban adalah A. Rp12.667.700
Soal Nomor 13: Sebuah bola dipantulkan dari ketinggian 1,5 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah jarak total yang ditempuh bola setelah 6 kali pentalan?
Diketahui:
Ketinggian awal (\(a\)) = 1,5 meter
Rasio pentalan (\(r\)) = \(\frac{2}{3} = 0,6667\)
Banyak pentalan (\(n\)) = 6
Ditanya: Jarak total yang ditempuh bola (\(J\))
Dijawab:
Rumus jarak total untuk pantulan bola: \(J = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \times 2 - a\)
Langkah 1: Hitung bagian deret geometri
\(\frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1 - (0,6667)^6}{1 - 0,6667}\)
= \(\frac{1 - 0,10019}{0,3333}\)
= \(\frac{0,89981}{0,3333}\) ≈ 2,70
Langkah 2: Hitung jarak total
\(J = 1,5 \times 2,70 \times 2 - 1,5\)
= 8,10 - 1,5 = 6,60 meter
Jadi, jawaban adalah B. 6,6 meter
Soal Nomor 14: Sebuah pabrik memproduksi 300 unit barang pada bulan pertama. Setiap bulan produksi meningkat 8%. Berapakah total produksi selama 7 bulan pertama?
Diketahui:
Produksi awal (\(a\)) = 300 unit
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 8\% = 1,08\)
Lama waktu (\(n\)) = 7 bulan
Ditanya: Total produksi selama 7 bulan (\(S_7\))
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total produksi selama 7 bulan
\(S_7 = 300 \times \frac{1,08^7 - 1}{1,08 - 1}\)
= \(300 \times \frac{1,713824 - 1}{0,08}\)
= \(300 \times \frac{0,713824}{0,08}\)
= \(300 \times 8,9228\) ≈ 2.676,84
Jadi, jawaban adalah A. 2.676 unit
Soal Nomor 15: Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp300.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya turun 25%. Berapakah nilai jual mobil tersebut setelah 3 tahun?
Diketahui:
Harga awal mobil (\(a\)) = Rp300.000.000,00
Rasio penurunan (\(r\)) = \(1 - 25\% = 0,75\)
Lama waktu (\(n\)) = 3 tahun
Ditanya: Nilai jual mobil setelah 3 tahun (\(V_3\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai jual setelah tahun pertama
\(V_1 = 300.000.000 \times 0,75 = 225.000.000\)
Langkah 2: Hitung nilai jual setelah tahun ketiga
\(V_3 = 300.000.000 \times (0,75)^3\)
= \(300.000.000 \times 0,421875\) = 126.562.500
Jadi, jawaban adalah A. Rp126.562.500
Soal Nomor 16: Sebuah tabungan dengan saldo awal Rp10.000.000,00. Setiap bulan, tabungan tersebut dikenai bunga 1.5%. Berapakah jumlah tabungan setelah 4 bulan?
Diketahui:
Saldo awal (\(a\)) = Rp10.000.000,00
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 1,5\% = 1,015\)
Lama waktu (\(n\)) = 4 bulan
Ditanya: Jumlah tabungan setelah 4 bulan (\(V_4\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung jumlah tabungan setelah bulan pertama
\(V_1 = 10.000.000 \times 1,015 = 10.150.000\)
Langkah 2: Hitung jumlah tabungan setelah bulan keempat
\(V_4 = 10.000.000 \times (1,015)^4\)
= \(10.000.000 \times 1,0613636\) = 10.613.636
Jadi, jawaban yang benar adalah A. Rp10.613.636,00
Soal Nomor 17: Sebuah benda jatuh dari ketinggian 3 meter dan memantul kembali mencapai 2/5 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah jarak total yang ditempuh benda setelah 4 kali pentalan?
Diketahui:
Ketinggian awal (\(a\)) = 3 meter
Rasio pentalan (\(r\)) = \(\frac{2}{5} = 0,4\)
Banyak pentalan (\(n\)) = 4
Ditanya: Jarak total yang ditempuh benda (\(J\))
Dijawab:
Rumus jarak total untuk pantulan bola: \(J = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \times 2 - a\)
Langkah 1: Hitung bagian deret geometri
\(\frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1 - (0,4)^4}{1 - 0,4}\)
= \(\frac{1 - 0,0256}{0,6}\)
= \(\frac{0,9744}{0,6}\) ≈ 1,624
Langkah 2: Hitung jarak total
\(J = 3 \times 1,624 \times 2 - 3\)
= 9,744 - 3 = 6,744 meter
Jadi, jawaban adalah B. 6,7 meter
Soal Nomor 18: Sebuah investasi dengan nilai awal Rp200.000.000,00. Setiap semester nilai investasi tersebut naik 6%. Berapakah nilai investasi tersebut setelah 2 tahun?
Diketahui:
Nilai awal investasi (\(a\)) = Rp200.000.000,00
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 6\% = 1,06\)
Lama investasi (\(n\)) = 2 tahun = 4 semester
Ditanya: Nilai investasi setelah 2 tahun (\(V_4\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai investasi setelah semester pertama
\(V_1 = 200.000.000 \times 1,06 = 212.000.000\)
Langkah 2: Hitung nilai investasi setelah semester keempat
\(V_4 = 200.000.000 \times (1,06)^4\)
= \(200.000.000 \times 1,26247056\) = 252.494.112
Jadi, jawaban adalah A. Rp252.494.112
Soal Nomor 19: Sebuah pabrik memproduksi 400 unit barang pada bulan pertama. Setiap bulan produksi meningkat 12%. Berapakah total produksi selama 5 bulan pertama?
Diketahui:
Produksi awal (\(a\)) = 400 unit
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 12\% = 1,12\)
Lama waktu (\(n\)) = 5 bulan
Ditanya: Total produksi selama 5 bulan (\(S_5\))
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total produksi selama 5 bulan
\(S_5 = 400 \times \frac{1,12^5 - 1}{1,12 - 1}\)
= \(400 \times \frac{1,7623416832 - 1}{0,12}\)
= \(400 \times \frac{0,7623416832}{0,12}\)
= \(400 \times 6,35284736\) ≈ 2.541,14
Jadi, jawaban adalah C. 2.541 unit
Soal Nomor 20: Sebuah mesin memiliki nilai awal Rp500.000.000,00. Setiap tahun nilai mesin tersebut turun 10%. Berapakah nilai mesin tersebut setelah 6 tahun?
Diketahui:
Nilai awal mesin (\(a\)) = Rp500.000.000,00
Rasio penurunan (\(r\)) = \(1 - 10\% = 0,9\)
Lama waktu (\(n\)) = 6 tahun
Ditanya: Nilai mesin setelah 6 tahun (\(V_6\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai mesin setelah tahun pertama
\(V_1 = 500.000.000 \times 0,9 = 450.000.000\)
Langkah 2: Hitung nilai mesin setelah tahun keenam
\(V_6 = 500.000.000 \times (0,9)^6\)
= \(500.000.000 \times 0,531441\) = 265.720.500
Jadi, jawaban adalah A. Rp265.720.500
Soal Nomor 21: Sebuah perusahaan teknologi memproduksi chipset dengan jumlah produksi yang meningkat 15% setiap bulan. Jika pada bulan pertama perusahaan memproduksi 10.000 chipset, berapakah jumlah total chipset yang diproduksi selama 8 bulan pertama?
Diketahui:
Jumlah produksi awal (\(a\)) = 10.000 chipset
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 15\% = 1,15\)
Lama waktu (\(n\)) = 8 bulan
Ditanya: Total produksi selama 8 bulan (\(S_8\))
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total produksi selama 8 bulan
\(S_8 = 10.000 \times \frac{1,15^8 - 1}{1,15 - 1}\)
= \(10.000 \times \frac{3,3066 - 1}{0,15}\)
= \(10.000 \times \frac{2,3066}{0,15}\)
= \(10.000 \times 15,3773\) = 153.773
Jadi, jawaban adalah A. 153.773 unit
Soal Nomor 22: Sebuah populasi bakteri tumbuh dengan laju 30% per jam. Jika awalnya ada 500 bakteri, berapakah jumlah bakteri setelah 5 jam?
Diketahui:
Jumlah bakteri awal (\(a\)) = 500
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 30\% = 1,3\)
Lama waktu (\(n\)) = 5 jam
Ditanya: Jumlah bakteri setelah 5 jam (\(U_5\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(U_n = a \times r^{n}\)
Langkah 1: Hitung jumlah bakteri setelah 5 jam
\(U_5 = 500 \times 1,3^5\)
= \(500 \times 3,71293\) = 1.856.465
Jadi, jawaban adalah A. 1.856.465
Soal Nomor 23: Sebuah pohon tumbuh dengan laju 25% setiap tahun. Jika saat ditanam pohon memiliki tinggi 2 meter, berapakah tinggi pohon tersebut setelah 6 tahun?
Diketahui:
Tinggi pohon awal (\(a\)) = 2 meter
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 25\% = 1,25\)
Lama waktu (\(n\)) = 6 tahun
Ditanya: Tinggi pohon setelah 6 tahun (\(V_6\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung tinggi pohon setelah tahun pertama
\(V_1 = 2 \times 1,25 = 2,5\)
Langkah 2: Hitung tinggi pohon setelah tahun keenam
\(V_6 = 2 \times (1,25)^6\)
= \(2 \times 3,814697265625\) = 7,62939453125
Jadi, jawaban yang benar adalah A. 7,629 meter
Soal Nomor 24: Sebuah investasi dengan nilai awal Rp500.000.000,00. Setiap triwulan (3 bulan) nilai investasi tersebut naik 7%. Berapakah nilai investasi tersebut setelah 2 tahun?
Diketahui:
Nilai awal investasi (\(a\)) = Rp500.000.000,00
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 7\% = 1,07\)
Lama investasi (\(n\)) = 2 tahun = 8 triwulan
Ditanya: Nilai investasi setelah 2 tahun (\(V_8\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai investasi setelah 8 triwulan
\(V_8 = 500.000.000 \times (1,07)^8\)
= \(500.000.000 \times 1,718185831\) = 615.506.250
Jadi, jawaban yang benar adalah A. Rp615.506.250,00
Soal Nomor 25: Sebuah mobil baru dibeli dengan harga Rp200.000.000,00. Setiap tahunnya nilai mobil tersebut turun 10%. Berapakah nilai mobil tersebut setelah 5 tahun?
Diketahui:
Harga awal mobil (\(a\)) = Rp200.000.000,00
Rasio penurunan (\(r\)) = \(1 - 10\% = 0,9\)
Lama waktu (\(n\)) = 5 tahun
Ditanya: Nilai mobil setelah 5 tahun (\(V_5\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai mobil setelah 5 tahun
\(V_5 = 200.000.000 \times (0,9)^5\)
= \(200.000.000 \times 0,59049\) = 118.098.000
Jadi, jawaban adalah B. 118.098.000
Soal Nomor 26: Sebuah mesin produksi memiliki nilai buku Rp150.000.000,00. Setiap tahun nilai mesin tersebut mengalami penyusutan 15%. Berapakah nilai mesin tersebut setelah 4 tahun?
Diketahui:
Nilai buku mesin (\(a\)) = Rp150.000.000,00
Rasio penyusutan (\(r\)) = \(1 - 15\% = 0,85\)
Lama waktu (\(n\)) = 4 tahun
Ditanya: Nilai mesin setelah 4 tahun (\(V_4\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai mesin setelah 4 tahun
\(V_4 = 150.000.000 \times (0,85)^4\)
= \(150.000.000 \times 0,52200625\) = 78.300.937,5
Jadi, jawaban adalah C. Rp78.300.937
Soal Nomor 27: Sebuah perusahaan mempunyai hutang Rp100.000.000,00 yang harus dilunasi setiap tahun dengan bunga 5%. Jika perusahaan membayar Rp12.000.000,00 setiap tahun, berapa tahun diperlukan untuk melunasi hutang tersebut?
Diketahui:
Jumlah hutang awal (\(a\)) = Rp100.000.000,00
Bunga pertahun (\(r\)) = 5%
Angsuran per tahun (\(p\)) = Rp12.000.000,00
Ditanya: Jumlah tahun untuk melunasi hutang (\(n\))
Dijawab:
Rumus angsuran hutang dengan bunga majemuk: \(a \times (1 + r)^n = p \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}\)
Langkah 1: Susun persamaan
\(100.000.000 \times (1,05)^n = 12.000.000 \times \frac{(1,05)^n - 1}{0,05}\)
Langkah 2: Sederhanakan persamaan
\(100 \times (1,05)^n = 12 \times \frac{(1,05)^n - 1}{0,05}\)
\(100 \times (1,05)^n = 240 \times ((1,05)^n - 1)\)
Langkah 3: Selesaikan untuk \(n\)
Melalui perhitungan numerik atau menggunakan rumus bunga majemuk, diperoleh bahwa dibutuhkan sekitar 9 tahun untuk melunasi hutang.
Jadi, jawaban yang benar adalah B. 9 tahun
Soal Nomor 28: Sebuah mesin produksi dapat memproduksi 500 unit produk pada hari pertama. Setiap hari, produksinya meningkat 20%. Berapakah jumlah total produksi selama 7 hari pertama?
Diketahui:
Jumlah produksi awal (\(a\)) = 500 unit
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 20\% = 1,2\)
Lama produksi (\(n\)) = 7 hari
Ditanya: Total produksi selama 7 hari (\(S_7\))
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung jumlah produksi total
\(S_7 = 500 \times \frac{1,2^7 - 1}{1,2 - 1}\)
= \(500 \times \frac{3,5831808 - 1}{0,2}\)
= \(500 \times 12,915904\) = 6.457,952
Jadi, jawaban adalah A. 6.458 unit
Soal Nomor 29: Sebuah perusahaan memiliki 10.000 karyawan. Setiap tahun, jumlah karyawan bertambah 8%. Berapakah jumlah karyawan setelah 5 tahun?
Diketahui:
Jumlah karyawan awal (\(a\)) = 10.000
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 8\% = 1,08\)
Lama waktu (\(n\)) = 5 tahun
Ditanya: Jumlah karyawan setelah 5 tahun (\(V_5\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung jumlah karyawan setelah 5 tahun
\(V_5 = 10.000 \times 1,08^5\)
= \(10.000 \times 1,4693280768\) = 14.693,280768
Jadi, jawaban yang benar adalah B. 14.693 karyawan
Soal Nomor 30: Sebuah uang sebesar Rp10.000.000,00 diinvestasikan dengan bunga majemuk 10% per tahun. Setiap tahun, pemilik mengambil Rp500.000,00 dari investasi tersebut. Berapakah jumlah uang yang tersisa setelah 3 tahun?
Soal Nomor 31: Sebuah franchise kafe memiliki 5 outlet pada tahun pertama. Setiap tahun, jumlah outletnya bertambah 40%. Jika setiap outlet menghasilkan keuntungan Rp50.000.000,00 per tahun, berapakah total keuntungan yang dihasilkan setelah 5 tahun?
Diketahui:
Jumlah outlet awal (\(a\)) = 5
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 40\% = 1,4\)
Lama waktu (\(n\)) = 5 tahun
Keuntungan per outlet per tahun = Rp50.000.000,00
Ditanya: Total keuntungan setelah 5 tahun
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total outlet setelah 5 tahun
\(S_5 = 5 \times \frac{1,4^5 - 1}{1,4 - 1}\)
= \(5 \times \frac{5,37824 - 1}{0,4}\)
= \(5 \times 10,9456\) = 54,728
Langkah 2: Hitung total keuntungan
Total keuntungan = 54,728 × Rp50.000.000,00 = Rp2.736.400.000,00
Jawaban adalah E. Rp2.736.400.000,00
Soal Nomor 32: Seorang investor menyimpan uang sebesar Rp100.000.000,00 dalam sebuah rekening dengan bunga majemuk 8% per tahun. Setiap tahun, investor tersebut menambahkan Rp10.000.000,00 ke rekeningnya. Berapakah jumlah uangnya setelah 4 tahun?
Diketahui:
Investasi awal (\(a\)) = Rp100.000.000,00
Bunga pertahun (\(r\)) = 8%
Setoran tahunan (\(p\)) = Rp10.000.000,00
Lama investasi (\(n\)) = 4 tahun
Ditanya: Jumlah uang setelah 4 tahun
Dijawab:
Rumus bunga majemuk dengan setoran tahunan: \(V_n = a \times (1 + r)^n + p \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}\)
Langkah 1: Hitung jumlah uang setelah 4 tahun
\(V_4 = 100.000.000 \times 1,08^4 + 10.000.000 \times \frac{1,08^4 - 1}{0,08}\)
= \(136.048.896 + 10.000.000 \times 4,506112\) = 136.048.896 + 45.061.120 = 181.110.016
Jawaban adalah E. Rp181.110.016
Soal Nomor 33: Sebuah perusahaan teknologi memiliki 500 paten pada tahun 2020. Setiap tahun, jumlah patennya bertambah 12%. Berapakah jumlah total paten yang dimiliki perusahaan tersebut dari tahun 2020 hingga 2025?
Diketahui:
Jumlah paten awal (\(a\)) = 500
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 12\% = 1,12\)
Lama waktu (\(n\)) = 6 tahun (2020-2025)
Ditanya: Total paten dari 2020 hingga 2025
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total paten
\(S_6 = 500 \times \frac{1,12^6 - 1}{1,12 - 1}\)
= \(500 \times \frac{1,973822 - 1}{0,12}\)
= \(500 \times 8,115183\) = 4.057,5915
Jawaban adalah D. 4.057 paten
Soal Nomor 34: Sebuah virus menyebar dengan laju 3 kali lipat setiap hari. Jika awalnya ada 2 orang yang terinfeksi, berapakah jumlah total orang yang terinfeksi setelah 4 hari?
Diketahui:
Jumlah orang terinfeksi awal (\(a\)) = 2
Rasio penyebaran (\(r\)) = 3
Lama waktu (\(n\)) = 4 hari
Ditanya: Total orang terinfeksi setelah 4 hari
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total orang terinfeksi
\(S_4 = 2 \times \frac{3^4 - 1}{3 - 1}\)
= \(2 \times \frac{81 - 1}{2}\)
= \(2 \times 40\) = 80
Jawaban adalah A. 80 orang
Soal Nomor 35: Sebuah aplikasi media sosial memiliki 1.000 pengguna pada bulan pertama. Setiap bulan, jumlah pengguna bertambah 15%. Berapakah jumlah pengguna setelah 1 tahun?
Diketahui:
Jumlah pengguna awal (\(a\)) = 1.000
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 15\% = 1,15\)
Lama waktu (\(n\)) = 12 bulan
Ditanya: Jumlah pengguna setelah 1 tahun (\(V_{12}\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung jumlah pengguna setelah 1 tahun
\(V_{12} = 1.000 \times 1,15^{12}\)
= \(1.000 \times 5,35017\) = 5.350,17
Jawaban adalah B. 5.350 pengguna
Soal Nomor 36: Sebuah mobil baru memiliki nilai residual 60% setiap tahun. Jika harga mobil tersebut Rp300.000.000,00, berapakah total penurunan nilai setelah 4 tahun?
Diketahui:
Harga mobil awal (\(a\)) = Rp300.000.000,00
Rasio penurunan (\(r\)) = \(0,6\)
Lama waktu (\(n\)) = 4 tahun
Ditanya: Total penurunan nilai setelah 4 tahun
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai mobil setelah 4 tahun
\(V_4 = 300.000.000 \times 0,6^4\)
= \(300.000.000 \times 0,1296\) = 38.880.000
Langkah 2: Hitung total penurunan nilai
Total penurunan = 300.000.000 - 38.880.000 = 261.120.000
Jawaban adalah E. Rp261.120.000
Soal Nomor 37: Seorang pensiunan menabung Rp200.000.000,00 dalam sebuah rekening dengan bunga majemuk 5% per tahun. Setiap tahun, ia mengambil Rp10.000.000,00 untuk keperluan hidup. Berapakah jumlah uang yang tersisa setelah 5 tahun?
Diketahui:
Tabungan awal (\(a\)) = Rp200.000.000,00
Bunga pertahun (\(r\)) = 5%
Pengambilan per tahun (\(p\)) = Rp10.000.000,00
Lama waktu (\(n\)) = 5 tahun
Ditanya: Jumlah uang tersisa setelah 5 tahun
Dijawab:
Rumus bunga majemuk dengan pengambilan: \(V_n = a \times (1 + r)^n - p \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}\)
Langkah 1: Hitung jumlah uang tersisa
\(V_5 = 200.000.000 \times 1,05^5 - 10.000.000 \times \frac{1,05^5 - 1}{0,05}\)
= \(255.256.250 - 10.000.000 \times 5,525625\) = 255.256.250 - 55.256.250 = 199.000.000
Jawaban adalah B. Rp199.000.000
Soal Nomor 38: Sebuah surat berantai dikirim ke 5 orang pada minggu pertama. Setiap penerima kemudian mengirimnya ke 3 orang baru setiap minggu. Berapakah jumlah total orang yang menerima surat tersebut setelah 4 minggu?
Diketahui:
Jumlah penerima awal (\(a\)) = 5
Rasio pengiriman (\(r\)) = 3
Lama waktu (\(n\)) = 4 minggu
Ditanya: Total orang yang menerima surat setelah 4 minggu
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total penerima
\(S_4 = 5 \times \frac{3^4 - 1}{3 - 1}\)
= \(5 \times \frac{81 - 1}{2}\)
= \(5 \times 40\) = 200
Jawaban adalah E. 200 orang
Soal Nomor 39: Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 3/4 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah jarak total yang ditempuh bola setelah 5 kali pentalan?
Diketahui:
Ketinggian awal (\(a\)) = 2 meter
Rasio pentalan (\(r\)) = \(\frac{3}{4}\)
Banyak pentalan (\(n\)) = 5
Ditanya: Jarak total yang ditempuh bola (\(J\))
Dijawab:
Rumus jarak total untuk pantulan bola: \(J = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \times 2 - a\)
Langkah 1: Hitung bagian deret geometri
\(\frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1 - (\frac{3}{4})^5}{1 - \frac{3}{4}}\)
= \(\frac{1 - \frac{243}{1024}}{\frac{1}{4}}\)
= \(\frac{\frac{781}{1024}}{\frac{1}{4}}\)
= \(\frac{781}{256}\)
Langkah 2: Hitung jarak total
\(J = 2 \times \frac{781}{256} \times 2 - 2\)
= \(2 \times \frac{1562}{256} - 2\)
= \(\frac{3124}{256} - 2\)
= 12,203125 - 2 = 10,203125 meter
Jawaban yang paling mendekati adalah D. 10 meter
Soal Nomor 40: Sebuah rumor menyebar di sekolah dengan laju 5 kali lipat setiap hari. Jika awalnya 2 orang mengetahui rumor tersebut, berapakah jumlah total orang yang mengetahui rumor tersebut setelah 3 hari?
Diketahui:
Jumlah orang yang mengetahui rumor awal (\(a\)) = 2
Rasio penyebaran (\(r\)) = 5
Lama waktu (\(n\)) = 3 hari
Ditanya: Total orang yang mengetahui rumor setelah 3 hari
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total orang yang mengetahui rumor
\(S_3 = 2 \times \frac{5^3 - 1}{5 - 1}\)
= \(2 \times \frac{125 - 1}{4}\)
= \(2 \times 31\) = 62
Jawaban adalah A. 62 orang
Soal Nomor 41: Sebuah perusahaan perangkat lunak memiliki 2.000 pengguna pada tahun pertama. Setiap tahun, jumlah pengguna meningkat 35%. Berapakah jumlah pengguna setelah 6 tahun?
Diketahui:
Jumlah pengguna awal (\(a\)) = 2.000
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 35\% = 1,35\)
Lama waktu (\(n\)) = 6 tahun
Ditanya: Jumlah pengguna setelah 6 tahun (\(V_6\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung jumlah pengguna setelah 6 tahun
\(V_6 = 2.000 \times 1,35^6\)
= \(2.000 \times 4,3587909435\) = 8.717,581887
Jawaban adalah B. 8.717 pengguna
Soal Nomor 42: Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 3 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 5/6 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah jarak total yang ditempuh bola setelah 4 kali pentalan?
Diketahui:
Ketinggian awal (\(a\)) = 3 meter
Rasio pentalan (\(r\)) = \(\frac{5}{6}\)
Banyak pentalan (\(n\)) = 4
Ditanya: Jarak total yang ditempuh bola (\(J\))
Dijawab:
Rumus jarak total untuk pantulan bola: \(J = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \times 2 - a\)
Langkah 1: Hitung bagian deret geometri
\(\frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1 - (\frac{5}{6})^4}{1 - \frac{5}{6}}\)
= \(\frac{1 - \frac{625}{1296}}{\frac{1}{6}}\)
= \(\frac{\frac{671}{1296}}{\frac{1}{6}}\)
= \(\frac{671}{216}\)
Langkah 2: Hitung jarak total
\(J = 3 \times \frac{671}{216} \times 2 - 3\)
= \(3 \times \frac{1342}{216} - 3\)
= \(\frac{4026}{216} - 3\)
= 18,638888... - 3 = 15,638888... meter
Jawaban yang paling mendekati adalah D. 16 meter
Soal Nomor 43: Sebuah investasi dengan nilai awal Rp80.000.000,00. Setiap semester nilai investasi tersebut naik 6%. Berapakah nilai investasi tersebut setelah 3 tahun?
Diketahui:
Nilai awal investasi (\(a\)) = Rp80.000.000,00
Rasio kenaikan nilai (\(r\)) = \(1 + 6\% = 1,06\)
Lama investasi (\(n\)) = 3 tahun = 6 semester
Ditanya: Nilai investasi setelah 3 tahun (\(V_6\))
Dijawab:
Rumus nilai akhir dengan pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai investasi setelah 6 semester
\(V_6 = 80.000.000 \times 1,06^6\)
= \(80.000.000 \times 1,418519\) = 113.481.520
Jawaban adalah E. Rp113.481.520
Soal Nomor 44: Sebuah perusahaan memiliki 20.000 pelanggan pada tahun pertama. Setiap tahun, jumlah pelanggan bertambah 25%. Berapakah jumlah total pelanggan yang dimiliki perusahaan dari tahun pertama hingga tahun kelima?
Diketahui:
Jumlah pelanggan awal (\(a\)) = 20.000
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 25\% = 1,25\)
Lama waktu (\(n\)) = 5 tahun
Ditanya: Total pelanggan dari tahun pertama hingga tahun kelima
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}\)
Langkah 1: Hitung total pelanggan
\(S_5 = 20.000 \times \frac{1,25^5 - 1}{1,25 - 1}\)
= \(20.000 \times \frac{3,0517578125 - 1}{0,25}\)
= \(20.000 \times 8,20703125\) = 164.140,625
Jawaban adalah D. 164.140 pelanggan
Soal Nomor 45: Sebuah perusahaan farmasi menghasilkan 10.000 vial vaksin pada bulan pertama. Setiap bulan, jumlah produksi meningkat 12%. Berapakah jumlah total vial vaksin yang diproduksi selama 7 bulan pertama?
Diketahui:
Jumlah produksi awal (\(a\)) = 10.000 vial
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 12\% = 1,12\)
Lama produksi (\(n\)) = 7 bulan
Ditanya: Total produksi selama 7 bulan (\(S_7\))
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}
Langkah 1: Hitung total produksi selama 7 bulan
\(S_7 = 10.000 \times \frac{1,12^7 - 1}{1,12 - 1}\)
= \(10.000 \times \frac{2,21069 - 1}{0,12}\)
= \(10.000 \times 9,25575\) = 92.557,5
Jawaban adalah B. 92.557 vial
Soal Nomor 46: Sebuah perusahaan memiliki 5.000 karyawan pada tahun 2020. Setiap tahun, jumlah karyawan bertambah 7%. Berapakah jumlah karyawan setelah 6 tahun?
Diketahui:
Jumlah karyawan awal (\(a\)) = 5.000
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 7\% = 1,07\)
Lama waktu (\(n\)) = 6 tahun
Ditanya: Jumlah karyawan setelah 6 tahun (\(V_6\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung jumlah karyawan setelah 6 tahun
\(V_6 = 5.000 \times 1,07^6\)
= \(5.000 \times 1,50073\) = 7.503,65
Jawaban yang benar adalah A. 7.500 karyawan
Soal Nomor 47: Sebuah mesin produksi memiliki nilai buku Rp200.000.000,00. Setiap tahun nilai mesin tersebut mengalami penyusutan 18%. Berapakah nilai mesin tersebut setelah 3 tahun?
Diketahui:
Nilai buku mesin (\(a\)) = Rp200.000.000,00
Rasio penyusutan (\(r\)) = \(1 - 18\% = 0,82\)
Lama waktu (\(n\)) = 3 tahun
Ditanya: Nilai mesin setelah 3 tahun (\(V_3\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai mesin setelah 3 tahun
\(V_3 = 200.000.000 \times 0,82^3\)
= \(200.000.000 \times 0,551368\) = 110.273.600
Jawaban adalah A. Rp110.273.600
Soal Nomor 48: Sebuah perusahaan memproduksi 3.000 unit produk pada bulan pertama. Setiap bulan, produksinya meningkat 10%. Berapakah jumlah total produksi selama 5 bulan pertama?
Diketahui:
Jumlah produksi awal (\(a\)) = 3.000 unit
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 10\% = 1,1\)
Lama produksi (\(n\)) = 5 bulan
Ditanya: Total produksi selama 5 bulan (\(S_5\))
Dijawab:
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}
Langkah 1: Hitung total produksi selama 5 bulan
\(S_5 = 3.000 \times \frac{1,1^5 - 1}{1,1 - 1}\)
= \(3.000 \times \frac{1,61051 - 1}{0,1}\)
= \(3.000 \times 6,1051\) = 18.315,3
Jawaban yang paling mendekati adalah B. 18.500 unit
Soal Nomor 49: Sebuah mobil baru dibeli dengan harga Rp300.000.000,00. Setiap tahunnya nilai mobil tersebut turun 15%. Berapakah nilai mobil tersebut setelah 4 tahun?
Diketahui:
Harga awal mobil (\(a\)) = Rp300.000.000,00
Rasio penurunan (\(r\)) = \(1 - 15\% = 0,85\)
Lama waktu (\(n\)) = 4 tahun
Ditanya: Nilai mobil setelah 4 tahun (\(V_4\))
Dijawab:
Rumus penurunan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung nilai mobil setelah 4 tahun
\(V_4 = 300.000.000 \times 0,85^4\)
= \(300.000.000 \times 0,52200625\) = 156.601.875
Jawaban adalah A. Rp156.601.875
Soal Nomor 50: Sebuah perusahaan memiliki 1.000 pelanggan pada tahun pertama. Setiap tahun, jumlah pelanggan bertambah 30%. Berapakah jumlah pelanggan setelah 7 tahun?
Diketahui:
Jumlah pelanggan awal (\(a\)) = 1.000
Rasio pertumbuhan (\(r\)) = \(1 + 30\% = 1,3\)
Lama waktu (\(n\)) = 7 tahun
Ditanya: Jumlah pelanggan setelah 7 tahun (\(V_7\))
Dijawab:
Rumus pertumbuhan geometri: \(V_n = a \times r^n\)
Langkah 1: Hitung jumlah pelanggan setelah 7 tahun
\(V_7 = 1.000 \times 1,3^7\)
= \(1.000 \times 6,274543\) = 6.274,543
Jawaban yang paling mendekati adalah B. 6.000 pelanggan
Daftar Nilai
Akhir Kata
Matematika bukan hanya tentang angka dan rumus. Ia adalah bahasa universal yang dapat menjelaskan banyak fenomena dalam kehidupan kita sehari-hari. Dengan memahami konsep deret geometri, kita tidak hanya belajar menyelesaikan soal, tetapi juga membentuk cara berpikir yang logis, runtut, dan kritis.
Kepada para guru, teruslah menjadi sumber inspirasi di kelas. Jangan ragu menyampaikan materi dengan pendekatan yang kreatif dan kontekstual. Ingat, setiap usaha yang dilakukan untuk memahamkan siswa akan berbuah hasil luar biasa di masa depan.
Dan bagi para siswa yang sedang belajar, teruslah semangat! Tidak ada keberhasilan tanpa usaha. Jadikan setiap latihan sebagai pijakan menuju pemahaman yang lebih baik. Karena pada akhirnya, ilmu yang kalian kuasai hari ini adalah bekal emas untuk masa depan yang cemerlang.